วิทยาศาสตร์ เราอาศัยอยู่ในสามมิติและเรารู้เรื่องนี้แล้วเมื่อเราเรียนฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น เมื่อทำหัวข้ออวกาศสามมิติ คุณต้องทำสายเสริม 3 เส้น เส้นเสริม 3 เส้นนี้แสดงถึงแต่ละมิติ ซึ่งก็คือความยาว ความกว้างและความสูงที่เราคุ้นเคย นอกจากปริภูมิสามมิติของชีวิตแล้ว นักวิทยาศาสตร์ยังนึกถึงระนาบ ปริภูมิสองมิติและแม้แต่ปริภูมิสี่มิติ เพื่อให้ทุกคนเข้าใจสเปซสองมิติและสเปซสี่มิติได้ดีขึ้น
นักวิทยาศาสตร์จึงนำวงแหวนโมบิอุสและขวดไคลน์มาอธิบายเพื่อให้ผู้คนเข้าใจสถานะของสเปซต่างๆ ได้อย่างเป็นรูปธรรมและชัดเจนยิ่งขึ้น แต่ทำไมทำแหวนเมอบิอุสได้ แต่กลับสร้างขวดไคลน์ไม่ได้ เพื่อทำความเข้าใจคำถามนี้ ก่อนอื่นเราต้องเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างมิติต่างๆ ของพื้นที่และแนวคิดของโทโพโลยี ต่อไป บทความนี้จะตอบคำถามเหล่านี้จากประเด็นต่อไปนี้ ประการที่ 1 มิติของอวกาศแสดงถึงอะไร ประการที่ 2 แนะนำวงแหวนโมบิอุสและขวดไคลน์
ประการที่ 3 แนะนำโทโพโลยี ประการที่ 4 เพื่อวิเคราะห์สาเหตุที่นักวิทยาศาสตร์ไม่สามารถสร้างขวดไคลน์ เราจะมาพูดถึงเรื่องแรกกัน มิติซึ่งจริงๆแล้วก็คืออวกาศถือได้ว่าเป็นคอนเทนเนอร์ ซึ่งในคอนเทนเนอร์นี้จะแบ่งออกเป็น 2 ลักษณะ คือ ปริมาตรและรูปร่าง นักวิทยาศาสตร์ได้ตระหนักว่าโลกถูกแบ่งออกเป็น 11 มิติ แต่เรายังรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับวัตถุในมิติที่ 1 ถึง 4 เมื่อเข้าใจสองมิติและสามมิติแล้ว
คนเรามักจะเอาตัวอย่างมดตัวเล็กๆ ที่พบเห็นได้ทุกเวลาในชีวิตประจำวัน เนื่องจากการมองเห็นของมดและมนุษย์นั้นแตกต่างกัน ในมุมมองของพวกมัน โลกจึงประกอบด้วยจุดและเส้น พวกมันอยู่รอดไม่ได้ด้วยการมองเห็น แต่ด้วยกลิ่นและการสัมผัส และด้วยสายตาที่อ่อนแอของพวกมัน จุดและเส้นประกอบกันเป็นโลก ดังนั้น บางคนจึงคิดว่ามดสามารถถูกมองว่าเป็นสัตว์สองมิติได้
จะเห็นได้ว่าโลกสองมิติเป็นเพียงจุดและเส้นในมิติที่เรารู้ตอนนี้จะแบ่งเป็น 0 มิติ 1 มิติ 2 มิติ 3 มิติและ 4 มิติ ซึ่งมิติ 0 คือจุดที่การเคลื่อนที่อยู่นิ่ง และสามารถแสดงด้วยจุดยอด ซึ่งโดยทั่วไปเชื่อกันว่าเป็นจุดยอดเดียว 1D คือเส้น และมันคือการเคลื่อนที่แบบ 0D ซึ่งสามารถแสดงเป็นจุดยอด 2 จุด คำอธิบายลักษณะนี้อาจดูเป็นนามธรรมไปสักหน่อย ชีวิตประจำวันของเราเต็มไปด้วยสิ่งต่างๆ และระนาบที่วาดบนกระดาษนั้นง่ายกว่า
แล้วเราจะแทนสองมิติและสี่มิติได้อย่างไรนัก วิทยาศาสตร์ จึงได้พัฒนาวงแหวนโมบิอุสและขวดไคลน์ให้เป็นตัวแทนของช่องว่างสองมิติ และสี่มิติตามลำดับต่อไปเราจะวิเคราะห์แง่มุมที่ 2 คุณอาจเคยเห็นวงแหวนเมอบิอุสรุ่นธรรมดาที่ทำโดยครูคณิตศาสตร์ ด้วยแถบกระดาษในชั้นเรียนคณิตศาสตร์ระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย อันที่จริง มันสามารถบิดได้ 180 องศา ด้วยแถบกระดาษหลังจากนั้น ให้ติดแถบกระดาษที่ปลายทั้ง 2 ด้านเข้าด้วยกัน
ซึ่งจะทำให้เกิดห่วงเมอบิอุส บนวงแหวนนี้คุณไม่สามารถแยกแยะด้านหน้าและด้านหลังได้ เพราะไม่ว่าด้านไหนก็ถือเป็นทั้งด้านหน้าและด้านหลัง นี่คือเสน่ห์ของแหวนเมอบิอุส สิ่งที่น่าทึ่งยิ่งกว่าคือถ้าเราวางมดตัวเล็กๆ บนวงแหวนแล้วปล่อยให้มันไต่ เราจะพบว่ามดตัวเล็กๆ สามารถเดินทั้ง 2 ด้านของวงแหวนได้โดยไม่กลับมา และวงแหวนนี้ถูกคิดค้นและออกแบบโดยเมอบิอุสนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันจากศตวรรษที่ 19 และนักคณิตศาสตร์อีกคนหนึ่ง
เมอบิอุสถือเป็นตัวแทนของวัฏจักรในชีวิตของเราเช่นเดียวกับรูปแบบที่พิมพ์บนถังขยะ และยังเป็นสัญลักษณ์ของแหวนเมอบิอุสที่ได้รับมาอีกด้วย ขวดไคลน์เป็นตัวแทนของมิติใด มาถึงคำถามที่ 3 สิ่งที่ขวดไคลน์แสดงถึงพื้นที่สี่มิติ หนึ่งมิติที่มากกว่าปริภูมิสามมิติที่เราอาศัยอยู่เรียกว่า ปริภูมิแบบยุคลิดมาตรฐานในวิชาคณิตศาสตร์ ผู้คนมักสับสนกับปริภูมิแบบยุคลิดมาตรฐานกับปริภูมิสี่มิติที่อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์กล่าวถึง แต่ทั้ง 2 ไม่เหมือนกัน
นอกจากสามมิติของความยาว ความกว้างและความสูงที่เราคุ้นเคย พื้นที่สี่มิติยังมีมิติเวลาเพิ่มเติมอีกด้วย เนื่องจากปัจจุบันเราขาดความเข้าใจเกี่ยวกับอวกาศที่สูงขึ้น เราจึงมองอวกาศสี่มิติจากมุมมองของโลกสามมิติ และสิ่งที่เกิดขึ้นก็เหมือนกับมดตัวน้อยมองอวกาศสามมิติด้วยมุมมองของจุดและเส้น ในรูปทรงของขวดไคลน์ที่ออกแบบโดยนักวิทยาศาสตร์ด้วยคอมพิวเตอร์ จะสังเกตได้ว่ามีลักษณะเป็นขวดแก้วที่แปลกตา
ขวดเป็นพื้นที่ปิดด้านล่างและด้านบนของขวดเชื่อมต่อเข้าด้วยกัน และสุดท้ายจะขยายคดเคี้ยวเข้าไปด้านในขวด เช่นเดียวกับที่วงแหวนเมอบิอุส ไม่สามารถบอกด้านหน้าจากด้านหลังได้ ขวดไคลน์นี้ไม่สามารถบอกด้านในจากด้านนอกได้ ดูเหมือนว่าด้านในจะเปลี่ยนจากมุมหนึ่งไปยังด้านนอก และด้านนอกจะมองจากอีกมุมหนึ่ง ดูเป็นเรื่องภายใน นักวิทยาศาสตร์บางคนอธิบายว่า หากมีอะไรยัดเข้าไปในขวดไคลน์ ขวดไคลน์จะไม่มีวันเต็ม นี่คือความมหัศจรรย์ของขวดไคลน์
เหตุใดผู้คนจึงสามารถสร้างแหวนเมอบิอุสได้แต่สร้างขวดไคลน์ไม่ได้ ถัดไปคือลักษณะที่ 4 สภาพแวดล้อมที่เราอาศัยอยู่เป็นพื้นที่สามมิติ ในพื้นที่นี้สามารถแสดงสิ่งของสองมิติ และสิ่งของสองมิติก็สามารถวาดได้เช่นกัน แต่ถ้าอยากขึ้นมิติก็ยากที่จะแสดงออก เนื่องจากทุกสิ่งในมิตินี้เป็นสามมิติ จึงเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างสิ่งที่เป็นสี่มิติในโลกสามมิติ อีกอย่างคือในชีวิตจริงเราไม่สามารถออกแบบขวดไคลน์ได้ ในร้านบูติกบางแห่งจะมีของตกแต่งขายมากมายแล้วขวดไคลน์ขายที่นั่น
ตามคำอธิบายของนักวิทยาศาสตร์ และคำจำกัดความของขวดไคลน์ ขวดไคลน์ที่ขายในร้านค้าเหล่านั้นล้วนเป็นของปลอม และสมมติขึ้นไม่ใช่ขวดไคลน์ของจริง เนื่องจากคอขวดของขวดไคลน์และผนังของขวด ต้องตัดกันหรือเชื่อมต่อระหว่างการผลิตจึงจะทำขวดได้ และการผลิตในลักษณะนี้ ทำลายคุณลักษณะที่ต่อเนื่องของคำจำกัดความ และขวดดังกล่าวจะสูญเสียความต่อเนื่องและความเป็นด้านเดียวดังนั้นจึงเป็นของปลอม
บทความที่น่าสนใจ มนุษย์ การศึกษาเกี่ยวกับส่วนที่แข็งแรงในมนุษย์ที่เทียบได้กับสัตว์ร้าย
